جبر جابجايي عملگرهاي کوانتومي نظير کميتهاي کلاسيک را به وجود آورد[70].
در رهيافت لاگرانژي با يک دستگاه غير نسبيتي با تعداد درجات آزاد محدود (k تا) ،معادله ، را داريم که S معرف کنش و L لاگرانژي حرکت مي باشد و اگر لاگرانژي را به ازاي چگالي لاگرانژي £ بيان كنيم معادله زير را خواهيم داشت:
(2-1) £
بنابراين معادله اويلر- لاگرانژ اين گونه نوشته مي شود:
(2-2)
معادله (2-2) را تنها در صورتي مي توان به طور يکتا براي شتاب ها حل کرد که ماتريس متشکل از مشتق دوم لاگرانژي نسبت به سرعتها (معروف به ماتريس هسيان) يعني:
(2-3)
دترمينان غير صفر() داشته باشد[71]. بنابراين لاگرانژي استاندارد و دستگاه غير مقيد است اگر با حل معادلات حرکت، کليه شتاب ها بر حسب مختصه ها و سرعت ها به دست آيند. همچنين در رهيافت هاميلتوني با استفاده از تعريف تکانه ها:
(2-4)
مي توان کليه سرعتها را به صورت توابعي از مختصه ها و تکانه ها به دست آورد و بدين ترتيب، هاميلتوني دستگاه اين گونه تعريف مي شود:
(2-5)
اما در صورتي که دترمينال هسيان صفر باشد ( يعني دستگاه مقيد و لاگرانژي دستگاه تکين باشد) به دليل غير استاندارد بودن لاگرانژي تکانه ها توابع مستقلي از سرعتها نخواهند بود. به همين دليل تنها تعدادي از سرعتها به صورت توابعي از مختصه ها و تکانه ها از رابطه (2-4) به دست مي آيند.
بنابراين در لاگرانژي هاي تکين توابع معيني از مختصه ها و تکانه ها به دليل عدم استقلال تکانه ها صفر هستند. اين توابع (از متغير هاي فضاي فاز) قيود اوليه نام دارند:
(2-6)
که M تعداد قيود اوليه مي باشد.
پس به طور خلاصه در لاگرانژي يک دستگاه تکين، در فرمول بندي لاگرانژي مختصات و سرعتها و نيز در فرمول بندي هاميلتوني مختصات و تکانه ها از هم مستقل نيستند و روابطي به نام “قيد” بين آنها به وجود خواهد آمد. براي اين دستگاه هاي مقيد و يا لاگرانژي هاي تکين مساله يکتايي و وجود
جواب هاي معادله حرکت از اهميت ارزش ويژه اي برخوردار است.
در مورد دستگاه هاي غير مقيد يکي از روشهاي کوانتش، کوانتش کانونيک است که در اين روش براي کوانتيده کردن دستگاه کروشه پواسون کميت هاي کلاسيک به جابجاگرهاي کوانتومي نظير آن ها تبديل مي شود. کروشه پواسون دو تابع ايجاد شده از q و p با نامهاي p(q,p) و g(q,p) اين گونه تعريف مي شود [69]:
(2-7)
ولي در مورد دستگاه هاي مقيد،کوانتيده کردن در مقايسه با دستگاه هاي غير مقيد اندکي متفاوت است. بحث در مورد دستگاه هاي مقيد زماني بيشتر اهميت يافت که کوشش هايي براي کوانتش ميدان هاي پيمانه اي مثل الکترومغناطيس گرانش صورت پذيرفت [69].
بحث درباره دستگاه هاي مقيد در سالهاي اول دهه 50 قرن بيستم آغاز شد. ديراک و برگمن حين مطالعه درباره فرمول بندي کانونيک ميدان هاي گرانش، اين بحث را ارائه کردند. ولي به طور رسمي، ديراک کار فرمول بندي اين دستگاه ها را براي لاگرانژي هايي با درجات آزادي محدود انجام داد [4]. هدف او در اين کار رسيدن به روشي استاندارد براي هاميلتوني کردن يک لاگرانژي تکين بود تا بتواند در نهايت از اين فرمول بندي جديد در کوانتش اين دستگاه ها استفاده کند[69].
اگر از ديد نظريه هاي پيمانه اي به بحث دستگاه هاي مقيد نگاه کنيم مسئله از اين قرار است:
يک نظريه پيمانه اي را مي توان نظريه اي فرض کرد که متغيرهاي ديناميکي آن نسبت به چهارچوب مرجعي توصيف مي گردند که انتخاب آن در هر لحظه از زمان اختياري مي باشد. ولي در اين بين تنها آن دسته از متغيرها از لحاظ فيزيکي اهميت پيدا مي کنند که نسبت به اين انتخاب آزادانه چهارچوب موضعي ناوردا باشند[72]. يک ويژگي مهم يک نظريه پيمانه اي اين است که جوابهاي کلي معادلات حرکت (در هر دو رهيافت لاگرانژي و هاميلتوني) براي يک نظريه پيمانه اي شامل توابع دلخواهي از زمان است. وجود اين توابع سبب مي شود که متغيرهاي فضاي فاز (تکانه ها و يا سرعت ها) از هم مستقل نباشند و قيودي بين آنها برقرار باشد. بنابراين از بحث بالا مي توان به اين نتيجه رسيد که هردستگاه پيمانه اي همواره يک دستگاه مقيد است (گرچه عکس اين گفته همواره صحت ندارد) [73]. حال به مبحث اصلي خود که دستگاه هاي مقيد بود برمي گرديم.
کوانتيده کردن دستگاهي با قيود نوع اول با اعمال شرايط قيدي روي فضاي حالتها صورت مي پذيرد. از سوي ديگر قيود نوع دوم در مدل کلاسيک باعث حذف برخي درجات آزادي مي گردند و کوانتش آنها از طريق در نظر گرفتن کروشه هاي ديراک به جاي کروشه هاي پواسون و تبديل آنها به جاي جابه جاگرهاي کوانتومي انجام مي پذيرد.
با توجه به معادلات (2-4) و (2-6)، مي توان گفت که در نوشتن قيود اوليه از معادلات حرکت
(اويلر- لاگرانژ) استفاده نمي شود و تنها تعريف تکانه موردنظر بوده است. قيود اوليه در طول زمان بايد ثابت باشد يعني تحول زماني قيود اوليه بايد صفر باشد. شرط سازگاري قيود اوليه ما را به سوي يک سري قيود جديد به نام قيود ثانويه هدايت مي کند. اگر هاميلتوني کل دستگاه را اين گونه تعريف کنيم:
(2-8)
که در آن:
(2-9)
Hc هاميلتوني کانونيک دستگاه و um ها ضريب نامعين لاگرانژي هستند. حال تغييرات زماني کميت دلخواهي چون g از فضاي فاز را مي توان به شکل:
(2-10)
نوشت (که اين معادله را معادله هاميلتون- ديراک گويند).به دليل آنکه تساوي روي سطح قيدي دستگاه برقرار است نماد را تساوي ضعيف مي ناميم. با توجه به رابطه (2-10) و تقاضاي صفر شدن آهنگ تغييرات زماني قيود به رابطه زير مي رسيم:
(2-11)
بنابراين:
(2-12)
با توجه به اينکه لاگرانژي در نظر گرفته شده در هيچ يک از مراحل کار نبايد به معادلات حرکت ناسازگار منتهي شود،معادله (2-11) يکي از سه حالت زير را خواهد داشت[71]:
1- معادلاتي که به طور اتحادي برقرار هستند که از اين دسته معادلات اطلاعات جديدي به دست
نمي آيد.
2- به تعدادي شرط براي تعيين um ها منجر مي شود.
3- معادلاتي مستقل از ضرايب um که تنها شامل رابطه اي بين مختصه ها و تکانه ها باشد به دست
مي آيد.
چنان چه حالت سوم اتفاق افتد به قيود جديدي مي رسيم که به آنها قيود مرتبه دوم گوييم،اين قيود نيز بايد ضمن حرکت صفر بمانند. بعد از به دست آمدن قيود مرتبه دوم بايد سازگاري اين قيود نيز تحت تحول زماني بررسي شوند که باز هم مي تواند به يکي از سه حالت ذکر شده منجر شود و در صورت به دست آمدن قيد جديد ديگري (قيود مرتبه سوم) بايد سازگاري آن را نيز بررسي کرد و اين روند را آنقدر ادامه داد تا آنکه نهايتاً يا رابطه اي براي محاسبه um ها به دست آيد و يا شرايط سازگاري به طور اتحادي برقرار شود. به مجموعه قيودي که از شرط سازگاري تحت تحول زماني با روند ذکر شده به دست مي آيند قيود ثانويه گويند.
2-1- 2 قيود نوع اول و نوع دوم
علاوه بر تقسيم بندي قيود به اوليه و ثانويه، تقسيم بندي مهم تر ديگري نيز وجود دارد که نه تنها روي قيود بلکه روي توابع فضاي فاز صورت مي گيرد و نقش مهم در نظريه دستگاه هاي تکين ايفا
مي کند.کميت R(q,p) از فضاي فاز را نوع اول مي گوييم اگر کروشه پواسون آن با تمام قيود به طور ضعيف صفر شود:
(2-13)
در غير اين صورت R(q,p) را نوع دوم گوييم.کروشه پواسوني که به طور ضعيف صفر باشد به طور قوي برابر با ترکيب خطي از قيود دستگاه است:
(2-14)
پس قيدي نوع اول است که کروشه پواسون آن با کليه قيود به طور ضعيف صفر باشد.همچنين کروشه پواسون دو کميت نوع اول نيز يک کميت نوع اول است[71].

2-1-3 کروشه ديراک
در اين قسمت هدف بررسي وجود قيود نوع دوم در دستگاه مقيد است.وجود قيود نوع دوم در يک دستگاه به معناي حضور تعدادي درجه آزادي اضافي است. وجود قيود نوع دوم باعث مي شوند که نتوان به راحتي براي آنها کروشه پواسوني مناسبي همچون (2-7) پيدا کرد. حال اگر دستگاه مقيدي را در نظر گرفته که تعدادکل قيود آن به صورت زير باشد:
(2-15)
و فرض کنيم که تعدادي از اين قيود نوع دوم و تعدادي هم نوع اول باشند در ابتدا با ساختن ترکيب هاي مناسب از قيود نوع دوم که منجر به قيود نوع اول مي شود تعداد قيود نوع دوم را تا حد امکان کاهش مي دهيم. سپس کل قيود نوع دوم که قابل تقليل نيستند به صورت زير نشان داده مي شود:
(2-16)
دترمينان ماتريس پاد متقارن که از کروشه پواسون دو به دوي قيود نوع دوم تشکيل مي شود همان طور که در مرجع [69] اثبات شده است حتي به طور ضعيف هم صفر نيست و چون دترمينان يک ماتريس پاد متقارن با بعد فرد لزوماً صفر است پس مي توان نتيجه گرفت که تعداد قيود نوع دوم حتماً بايد زوج باشد. از صفر نبودن دترمينان ذکر شده نتيجه مي شود که مي توان ماتريس را به دست آورد به گونه اي که:
(2-17)
حال کروشه ديراک براي توابع فضاي فاز f و g به صورت زير تعريف مي شود:
(2-18)
با محاسبه مستقيم نشان داده مي شود که کروشه ديراک تعريف شده (2-18) تمامي خواص کروشه هاي پواسون را داراست [69]. يعني خواص پادتقارني و خطي بودن را دارا بوده و از قاعده لايبنيتز و اتحاد جاکوبي پيروي مي کند. نکته ديگر اين که کروشه ديراک يک تابع دلخواه با هر يک از قيود نوع دوم صفر است، پس قيود نوع دوم در فرايند محاسبه کروشه هاي ديراک مي توانند متحد با صفر در نظر گرفته شوند، يعني استفاده کردن از يک کروشه ديراک به معناي صفر قرار دادن قيود نوع دوم به صورت قوي است[72].

2-2 کوانتش سيستم هاي مقيد
در دستگاه هاي مقيد شامل شرايط مرزي، شرايط مرزي را هم ارز با زنجيره اي نامحدود از قيود نوع دوم در نظر مي گيريم که در اين قيود همان طور که در بخش قبل ذکر شد از بررسي سازگاري شرايط مرزي با هاميلتوني کل به دست مي آيد. در نظريه ميدان هاي معمولي شرايط مرزي ترکيب خطي از ميدان ها و تکانه هاي هم نوع آنها هستند و هاميلتوني کل نيز مجموع هاميلتوني کانونيک سيستم و قيود (شرايط مرزي) در ضرائبي هستند که ضرائب لاگرانژي ناميده مي شوند.
روش توضيحي در بالا براي کوانتش يک ريسمان بوزوني باز که يک دستگاه (1+1) بعدي است در حضور ميدان مغناطيسي B به کار رفته است و نتايج به دست آمده اين است که مختصات نقاط انتهايي ريسمان پس از کوانتش جابه جا نمي شوند[12].
پيش از آن ديده شده بود که وارد کردن شرايط مرزي در معادلات حرکت در برخي از حالت هاي خاص ناسازگار با روابط جابجايي کانونيکي هستند [5]. جزئيات اين روش و کوانتش ريسمان بوزوني در فصل پنجم ارائه خواهد شد. ما از اين روش براي کوانتش ميدان کلين گوردون و الکترومغناطيسي در فضاي 3+1 بعدي و در حجم محدود با اعمال شرايط مرزي براي معادلات در ادامه اين فصل استفاده مي کنيم.روش کلي کوانتش سيستم هاي مقيد بدين شرح است:
1- شرايط مرزي را به عنوان قيود اوليه در نظر مي گيريم.
2- سازگاري قيود مذکور با هاميلتوني کل (HT) را حساب مي کنيم. اين کار باعث ايجاد زنجيره نامحدود قيود مي شود که نوع دوم هستند.
3- قيود را بر کلي ترين بسط مولفه هاي ميدان اعمال مي کنيم.
اين بسط به تناسب شکل مرزها و تقارن مسئله مي تواند بسط فوريه، بسط- فوريه و بسط برحسب هر دسته از توابع تعامد مناسب باشد.
4- اعمال قيود باعث حذف برخي از مولفه هاي ميدان و رفتن به فضاي فاز کاهش يافته مي شود.
وقتي قيود نوع دوم در سيستم وجود دارد ابتدا بايد قيد نوع دوم را به عنوان متغيرهاي اضافي از سيستم حذف کنيم تا فضاي فاز کاهش يافته را داشته باشيم.
5- از کروشه ديراک به جاي کروشه پواسون براي فضاي فاز کاهش يافته استفاده مي کنيم.
اين کار ضمن حفظ ديناميک سيستم، ساختار

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید