ت. به این ترتیب یک تخمین تقریبی از تحلیل F_SINRi (γ) به دست می‌آید.
***

3-3-2- مدل دقیق
3-3-2-1- تقریب فاصله ها

در این حالت نیز توزیع فاصله ها مانند بخش بالایی است اما با کمی تفاوت در فرمول تقریبی. تفاوت های این سناریو و سناریوی تقریبی در این است که بجای استفاده از تقریب بیان شده در عبارت(3-15) برای سناریوی مربعی شکل ،
(3-27) F_d (z)=Pr{d≤z}=1-exp(-k^2/(4b^2 ) z^2 ), 0≤z≤b√2

از تقریب بیان شده در عبارت (3-11) استفاده میکنیم تا روابط ساده تری بدست آوریم.

(3-28) F_d (ρ)={ █(0, ρε@(πρ^2-πε^2)/(πD^2-πε^2 ) , ε≤ρ≤D,@1, ρ≥D)┤

3-3-2-2- محاسبه تابع توزیع تجمعی نسبت سیگنال به نویز و تداخل (SINR) دریافتی

در زیر بخش قبل روشی تحلیلی برای محاسبه CDF یا تابع توزیع تجمعی SINR دریافتی، F_SINR (γ)، به دست آوردیم که در توضیح آن سناریویی را که قبلا در مرجع[43] نیز مورد بررسی قرار گرفته بود، در نظر گرفتیم. در آن تحلیل، حالت حدی که در آن تعداد گرهها به سمت بینهایت میل میکند در نظر گرفته شده بود و نتایج تحلیلی هنگامی که که تعداد گرهها پایین بود با نتایج شبیهسازی فاصله داشت (مراجعه کنید به شکل های (4-44) و (4-45) فصل چهارم).
در این بخش همان سناریویی را در نظر میگریم که در بخش قبلی به عنوان یک شبکه سنسوری کلی معرفی شده است. شکل ناحیه پوشش شبکه که به فرم مستطیلی (با اضلاع تقریبا هم اندازه) یا مربعی است، در اینجا برای لایه هدرها، نسبت به ایستگاه مرکزی، به صورت یک دیسک مسطح دایرهای تقریب زده میشود است. بنابراین، این دو سناریو تفاوت اساسی با یکدیگر ندارند. اما در عین حال سناریوی ناحیه پوشش دایرهای در تحقیقات و مقالات منتشر شده متداولتر است.
هدف پیدا کردن تخمینی تحلیلی برایCDF یا تابع توزیع تجمعی SINR دریافتی، F_SINR (γ)، است که محدودیتهای حالت حدی را نداشته باشد. به عبارت دیگر برای هر تعداد محدود از گرهها در شبکه بتواند تخمین قابل قبولی از F_SINR (γ) بدهد.
برای این منظور تعدادی فرض ساده کننده برای محاسبات در نظر میگیریم. بررسی نتایج تحلیل و همچنین شبیهسازی نشان میدهد که محوشوندگی تاثیر مختصری بر روی F_SINR (γ) دارد. بنابراین در تحلیلهای این بخش از محوشوندگی صرف نظر میکنیم هر چند که در شبیهسازیهای بعدی که برای سنجش صحت نتایج تحلیل صورت خواهد گرفت، اثر محوشوندگی در نظر گرفته خواهد شد.
همچنین برای سادهتر شدن محاسبات، فرض میشود که نویز در مقابل توان تداخلی قابل صرف نظر است. این فرض، فرض متداولی در شبکههای اقتضایی است که در آنها عامل محدود کننده عمدتا تداخل سایر فرستندههای هم فرکانس بوده و نویز نقش کمتری در محدودیت کردن ظرفیت دارد. همچنین در مرجع [45] نشان داده شده است که در همه شبکههای اقتضایی به شرط آنکه همه گرههای فرستنده با توانی که از حدی بالاتر است اقدام به ارسال کنند میتوان از اثر نویز در مقابل تداخل صرف نظر کرد. بنابراین در اینجا مساله ما به محاسبه CDF یا تابع توزیع تجمعی نسبت توان سیگنال به تداخل دریافتی (SIR91) ، F_SINR (γ)، ساده میشود.
با تعریف نسبت توان سیگنال به تداخل دریافتی، SIR، شروع میکنیم. فرض میشود که N جفت فرستنده-گیرنده در شبکه وجود داشته باشد. بدون آنکه از کلیت موضوع کاسته شود، اولین جفت فرستنده-گیرنده را به عنوان فرستنده و گیرنده مطلوب در نظر میگیریم و تاثیر تداخلی سایر فرستندهها بر روی آن بررسی میکنیم. SIR در محل گیرنده مورد نظر به صورت زیر نوشته میشود:

(3-29) SIR=(P_t⁄d^α )/(1/L ∑_(i=2)^N▒P_t⁄(r_i^α ))=(1⁄d^α )/(1/L ∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α ))
P_(t ) توان هر یک از فرستندهها،d فاصله بین فرستنده مطلوب و گیرنده و r_i (2≤i≤N) فاصله i-امین فرستنده مطلوب تا گیرنده است. همچنین α نمای تضعیف کانال92 است. به عبارت دیگر مدل تضعیف فضای آزاد93 برای تمام لینکهای تداخلی و همچنین برای لینک مطلوب در نظر گرفته شده است [44].

CDF یا تابع توزیع تجمعی SIR به ترتیب زیر تعریف میشود [4].

(3-30) F_SIR (γ)=Prob.{(1⁄d^α )/(1/L ∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α ))≤γ}
که Prob.{A}احتمال پپیشامد Aاست.
توان تداخلی در محل گیرنده ، I، به شکل زیر است:
(3-31) I=∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α )

وقتی شعاع ناحیه پوشش شبکه، R، بزرگ باشد، میتوان از اثرات لبهای صرف نظر کرد و مکان گیرنده مطلوب را معادل با در مرکز ناحیه پوشش در نظر گرفت [9] و [45]، این فرض برای هدر ها هنگامیکه به عنوان گیرنده برای سنسورها در لایه سنسوری عمل میکنند و نیز برای ایستگاه مرکزی که در وسط ناحیه واقع شده است، قابل استفاده است . با این مفروضات، تداخل کنندهها با توزیع یکنواخت در اطراف مرکز پراکنده شدهاند و فاصلهشان تا مرکز از یک مقدار کمینهε تا مقدار بیشینهR متغیر است. ε کمترین فاصله بین دو گره در شبکه بوده و R شعاع ناحیه پوشش شبکه است و مقدار آن برای هر دو لایه شبکه در بخش قبل مشخص شد.
همانطور که پیشتر گفتیم، برای هر دو لایه شبکه می توان فرض حداقل فاصله ممکن بین سنسور ها و محل هِدِر ها را برای اثر تداخل، ε در نظر گرفت (زیرا تداخل ناشی از سنسور ها روی گیرنده اطلاعات از سنسور ها که همان هِدِر ها هستند رخ میدهد) اما مقدار حداکثر این فاصله تداخلی، که معادل با D تعریف می شود، از روی رنج ارسال سنسور ها تعیین می شود که به مراتب کمتر از اندازه طول یا عرض ناحیه است؛ و برای تداخل ناشی از هِدِر ها روی ایستگاه مرکزی، که معادل با R تعریف می شود، چون توزیع هِدِر ها تصادفی یکنواخت است، پس مانند
سنسور ها، می توانند هر فاصله ای در بازه ε تا R اختیار کند اما حداکثر این مقدار مساوی با نصف قطر ناحیه توزیع سنسورها، خواهد بود. توضیحات بیشتر را در تعیین مقدار D، در بخش قبل داده ایم.

به این ترتیب، فاصله i-امین (2≤i≤N)گره تداخل کننده تا گیرنده مطلوب، r_i، تابع توزیع تجمعی به شکل زیر خواهد داشت:
(3-32) F_(r_i ) (r)=Prob.{r_i≤r}={█( 0, r≤ε @(πr^2-πε^2)/(πR^2-πε^2 ), ε≤r≤R @ 1, r≥R )┤

اکنون که مشخصات آماری همه عناصر تصادفی موجود در رابطه ( 3-29 ) بیان شده، در گام بعدی توان تداخلی در محل گیرنده، Iدر رابطه (3-31)، مورد بررسی قرار میگیرد.
در مراجع [43] و[18] پیشنهاد شده که برای N های بزرگ طبق قانون اعداد بزرگ94،I میتواند با(N-1)E{1⁄r^α } جایگزین شود که در آن E{.} نماد متوسط آماری95 است[6]. در زیر بخش قبلی از تخمین مشابهی در تحلیلها استفاده کرده بودیم. در اینجا I=∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α ) را با دقت بیشتری بررسی میکنیم تا تخمین مناسبی برایI به دست آوریم.
اگر بخواهیم مطابق تخمینی که در زیر بخش قبل بکاربردیم، برای N هایی که به سمت بینهایت میل می کنند باید I را با ثابت (N-1)E{1⁄r^α } جایگین کنیم، که در شرایطی که واریانس آن مقدار بزرگی درد، تخمین مناسبی به شمار نمیرود. در اینجا بجای آنکه I به صورت یک عدد ثابت در نظر گرفته شود، آنرا به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته و تابع توزیع احتمال آنرا در محاسبات وارد می کنیم.

حال با استفاده از فرمول (I) توان تداخلی، می توان این فرض را بکار برد که از آنجایی که تداخل با معکوس فاصله رابطه دارد، کوچکترین مقدار فاصله، معادل با نزدیکترین سنسور تداخل کننده، عامل غالب خواهد بود:
(3-33) I=∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α ) = ̃〖max〗_(i (2≤i≤N) ) { 1/(r_i^α ) }
= 1/(〖min〗_(i (2≤i≤N) ) { r_i^α } )
=〖[〖min〗_(i (2≤i≤N) ) { r_i^α }]〗^(-1)

F_I (x)=Prob(I≤x) = ̃ Prob{[〖min〗_(i (2≤i≤N) ) { r_i^α }]^(-α)≤x}
=prob{〖min〗_(i (2≤i≤N) ) { r_i^α }≥x^(- 1/α) }
=prob{r_i ≥x^(- 1/α) ,∀ 2≤i≤N }

(3-34) =(1-F_r (x^(- 1/α) ))^(N-1)

F_r (r) تابع توزیع تجمعی (CDF)، فاصله بین هر تداخل کننده تا گیرنده مطلوب است که پیشتر آنرا تعریف کردیم، با جایگزاری از رابطه (3-32) در رابطه فوق، خواهیم داشت :

(3-35) 1-F_(r_i ) (x^(- 1/α) )={█(1, x^(- 1/α)≤ε @1- (x^(-2/α)-ε^2)/(R^2-ε^2 ), ε≤x^(- 1/α)≤R @0, x^(- 1/α)≥R )┤

بنابر این:

(3-36) F_I (x) = ̃{█(1 , ε^(-α)≤[email protected] @ ((R^2-x^(-2/α))/(R^2-ε^2 ))^(N-1) , R^(-α)≤x≤ ε^(-α)@ @0, 〖x≤ R〗^(-α) )┤

از طرفی برای نسبت سیگنال به (نویز و) تداخل، داریم :

(3-37) SIR=(1⁄d^α )/(1/L ∑_(i=2)^N▒1⁄(r_i^α ))=((1/d^α ))/(1/L I)= L/〖I.d〗^α

که در آن L یک ضریب ثابت است که بهره پردازش CDMA است
و از طرفی برای بدست آوردن توزیع آن نیاز است که بر حسب توزیع مکانی فاصله ها، آنرا بیان کنیم که به فرم زیر خواهد بود:

(3-38) F_SIR (γ)=Prob.{L/〖I.d〗^α ≤γ}=Prob {d≥√(α&L/(I.γ )) }

با دقت در معادله فوق مشاهده میکنیم که علاوه بر γ ، که متغیر اصلی است دو متغیر تصادفی d، یعنی فاصله بین گیرنده و فرستنده و I ، توان تداخلی دیگر سنسور ها، داریم که با کمک رابطه (3-28) F_d (z) که در این فصل برای سناریوی مستطیل شکل تعریف کردیم، می توان متغیر ها را فقط بر حسب I نوشت و سپس روی تغییرات آن متوسط گیری کرد. بنابراین برای محاسبه F_SIR (γ) خواهیم داشت :

F_SIR (γ)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖Prob{ d≥(I.γ.L^(-1) )^(- 1/α) | I=x}*〗 f_I (x)dx

(3-39) =∫_(-∞)^(+∞)▒〖( 1-F_d {(x.γL^(-1) )^(- 1/α) } )*〗 f_I (x)dx

برای بدست آوردن 〖 f_I〗_dB (x) تابع چگالی احتمال(PDF) ، نیاز است که از تابع توزیع (CDF) مشتق بگیریم، داریم :
f_I (x)=(dF_I (x))/dx = {█(0 , ε^(-α)≤x @〖(2(N-1)/(α (R^2-ε^2 ) )).x^(-(α+2)/α).((R^2-x^(-2/α))/(R^2-ε^2 ))〗^(N-2) , R^(-α)≤x≤ ε^(-α),@0, 〖x≤ R〗^(-α) )┤

(3-40)
همچنین برای بدست آوردن مقدار تابع 1-F_d {(x.γ)^(- 1/α) } خواهیم داشت :

(3-41) 〖1-F〗_d ((x.γL^(-1) )^(-1/α) )=

{ █(1, (x.γL^(-1) )^(- 1/α) ε ⇨ x(〖L^(-1) γε^α)〗^(-1)@(D^2-(x.γL^(-1) )^(- 2/α))/(D^2-ε^2 ), ε≤(x.γL^(-1) )^(- 1/α)≤D⇨ (L^(-1) 〖γD^α)〗^(-1)≤x≤(〖L^(-1) γε^α)〗^(-1)@0, (x.γL^(-1) )^(- 1/α)≥D⇨ x(〖L^(-1) γD^α)〗^(-1) )┤

بنابراین نهایتا با جایگزاری تمامی عبارات فوق در انتگرال F_SIR (γ) گفته شده در رابطه(3-39) خواهیم داشت :

F_SIR (γ)= ∫_(-∞)^(+∞)▒█([{ █(1, x(〖L^(-1) γε^α)〗^(-1) @(D^2-(x.γL^(-1) )^(-2/α))/(D^2-ε^2 ), (L^(-1) 〖γD^α)〗^(-1)≤x≤(〖L^(-1) γε^α)〗^(-1)@0, x(〖L^(-1) γD^α)〗^(-1) )┤ ]*@ )

[ {█(0 , ε^(-α)≤x @〖(2(N-1)/(α.(R^2-ε^2 ) )).x^(-(α+2)/α).((R^2-x^(-2/α))/(R^2-ε^2 ))〗^(N-2) , R^(-α)≤x≤ ε^(-α) @0, 〖x≤ R〗^(-α) )┤].dx

(3-42)

برای پیداکردن یک فرم بسته برای جواب این انتگرال نیاز است تا ضوابط بازه ها را با یکدیگر مقایسه کنیم و با در نظر گرفتن مقادیر محدود کننده صفر در هر دو تابع، بازه انتگرال را به بازه های کوچکتر و محدود بشکنیم.

با استفاده از نرم افزار های مخصوص ریاضات مانند Maple و نیز Mathematica-Wolframe نیز که اصولا بر پایه ریاضیات سمبلیک (غیر عددی) بنا شده اند، بدست آوردن جواب این انتگرال ب

دسته بندی : پایان نامه ها

دیدگاهتان را بنویسید