(3-54)
(3-55)
(3-56)
که با توجه به شرط هنجارش و خواهيم داشت:
(3-57) و و
کهو m و n مقادير صحيح مثبت و صفر هستند. براي اينکه شرط پيمانه اي برقرار شود نياز داريم که:
(3-58)
پس دو قطبش مستقل وجود دارد، مگر اينکه يکي از اعداد صحيح و m يا n صفر باشد،که با توجه به عبارت(3-58) فقط يک قطبش وجود دارد[77]. به هر حال اين توابع مدها متعامد هستند و شرايط به هنجارش زير را ارضا مي کنند يعني:
(3-59)
در حقيقت براي محاسبه نيروي کازيمير بسامد هاي رابطه (3-57) را نياز داريم:
(3-60)
بنابراين انرژي نقطه صفر ميدان درون حفره(کاواک)برابر مي شود با:
(3-61)
منشاء ضريب 2 از دو قطبش مستقل مدها با و m و مي باشد و نشانه پريم در مجموع ايجاب
مي کند که ضريب وارد شود. در شرايط فيزيکي مورد نظر، L در مقايسه با بسيار بزرگ است (L>> d) که بايد با جمع روي و m در رابطه(3-61) جايگزين شود، به وسيله انتگرال گيري زير جواب فوق نامتناهي است:

(3-62) ×
اگر d به طور دلخواه هم بزرگ در نظر گرفته شود جمع روي n مي تواند به وسيله انتگرال جايگزين شود. پس انرژي نقطه صفر(3-62) برابرخواهد شد با:
(3-63)
که همچنان نامتناهي است. انرژي پتانسيل اين سيستم وقتي صفحات در فاصله d هستند اين گونه است:

و انرژي مورد نياز براي آوردن صفحات از فاصله زياد به فاصله d برابر با عبارت زير مي گردد:
(3-64)
که اين تفاضل مقداري نامتناهي است، اما در ادامه خواهيم ديد که با اين وجود امکان دارد که از آن معنايي فيزيکي (مقدار متناهي) را استخراج کنيم.در مختصات قطبي u و در صفحه kx و ky داريم:
(3-65)
که محدوده از تا براي و است.حال يک تابع قطع
را بدين گونه معرفي مي کنيم:
براي
براي
وجود f(k) ضروري است، زيرا فرض ديواره هاي کاملا رسانا در طول موج هاي کوچک قابل مقايسه با ابعاد اتمي بي اعتبار مي شود.پس بايد فرض کنيم که شعاع بوهر مي باشد. آنچه اين جا فرض کرديم در اثر کازيمير يک بسامد پايين و اثر غير نسبيتي است. بنابراين ما رابطه (3-67) را با رابطه (3-66) جايگزين مي کنيم:
(3-66)

که در بالا متغيرهاي انتگرال گيري ورا تعريف کرده ايم. حال براي حل عبارت فوق با تعريف زير:
(3-67)
خواهيم داشت:
(3-68)
طبق فرمول مجموع اويلر- ماکلارين[78]:
(3-69)
که .براي به دست آوردن مشتق nام بايد توجه کرد که:
(3-70) و
اگر فرض کنيم همه مشتق هاي تابع قطع f در صفرباشد، و و بنابراين همه مشتق هاي بالاتر هم صفرمي شود، بنابراين خواهيم داشت:
(3-71)
ودرنتيجه:
(3-72)
که متناهي و مستقل از تابع قطع مي باشد. پس نيروي جاذبه بر واحد سطح بين صفحات برابر با مقدار زير
مي گردد:
(3-73)
که اين همان نيروي کازيمير است[77]. پيام مهم وجالبي که در اين بخش بر آن تاکيد داشتيم اين بود که تغييرات نامتناهي انرژي نقطه صفر خلاء الکترومغناطيسي را مي توان متناهي و قابل مشاهده نمود. البته در فصل چهارم با چند روش ديگر اين کار منظم سازي را براي ميدان الکترومغناطيس انجام مي دهيم.

فصل چهارم
نيروي کازيمير براي ميدان هاي اسکالر و الکترومغناطيس

در فصل چهارم، در ابتدا نيروي كازيمير براي يك ميدان كلين گوردون در يك فاصله محدود را با استفاده ازمولفه ميدان به دست آمده فصل دوم و هم چنين با هنجارسازي و عملگر چگالي انرژي يا تانسور تكانه انرژي و مقدار چشمد اشتي آن به دست مي آوريم.
پس از به دست آوردن مقدار چشمد اشتي تانسور تكانه – انرژي در دو بعد فضا زمان، به محاسبه انرژي كل خلاء در دو مرحله، يكي در فاصله محدود همراه با شرايط مرزي و ديگري در خلاء مينكوفسكي پرداخته ايم. سپس دو مقدار فوق را با تابع نمائي منظم سازي نموده و در پايان انرژي خلاء باز به هنجارشده را در فاصله محدود، محاسبه مي كنيم و با مشتق گيري نسبت به با فاصله نيروي كازيمير ميدان اسكالر را محاسبه مي کنيم.
در بخش دوم اين فصل نيروي كازيمير را براي ميدان الكترومغناطيسي همچون روش فوق و با استفاده از مولفه ميدان به دست آمده در بخش 2-4 به دست آورده ايم. با اين تفاوت كه در مبحث هاي جداگانه به
طور مفصل منظم سازي انرژي حالت پايه را با تابع خفيف فركانسي، تابع زتاي ريمان و تابع قطع انجام داده ايم. در مورد منظم سازي با تابع قطع كار خود را از مؤلفه ميدان الكترومغناطيسي 2-4،‌شروع كرده و تابع قطع را براي متناهي كردن انرژي نقطه صفر به كار برده ايم.
بخش سوم اين فصل به فشار تابشي خلاء كه يك توضيح فيزيكي براي نيروي كازيمير مي باشد، اختصاص دارد. در اين بخش با استفاده از اختلاف فشار بيروني بين صفحات و فشار دروني اعمال شده و به وسيله مدها و نيز استفاده از فرمول اويلر- ماكلارين براي منظم سازي به نتيجه نيروي كازيمير بر واحد سطح رسيده ايم.

4-1 ميدان اسکالر کوانتيده در فاصله محدود
در اين بخش براي شروع کار و محاسبه نيروي کازيمير ميدان اسکالر، يک ميدان اسکالر حقيقي که در فاصله مکاني تعريف شده با شرايط مرزي زير را تعريف مي کنيم[78]:
(4-1)
اين کلي ترين نمونه اي است که در آن اثر کازيمير ظاهر مي شود.سادگي شرايط (فضاي يک بعدي و ميدان يک مولفه اي)،اين امکان را مي دهد که در مورد محاسبه نيروي کازيمير در اين مورد به طور واضح بحث کنيم.با توجه به معادلات چگالي لاگرانژي، کنش و همچنين معادله اويلر- لاگرانژ براي اين ميدان، (2-19)،(2-20) و(2-21)، مي توانيم معادله ميدان اسکالر را اين گونه بنويسيم:
(4-2)
که m جرم ميدان است. حال با امتحان کردن جواب هاي بسامدي مثبت ومنفي تحت شرايط مرزي، به دست مي آيد:
(4-3)
که:
اين همان معادله( 2-52) براي ميدان اسکالردر يک بعد است که با در نظر گرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود ديراک در فصل دوم به دست آورده بوديم.
حال روابط تعامد و هنجارسازي مربوط به معادله(4-3) را مي نويسيم:
(4-4)

در اين جا با در نظر گرفتن ميدان آزاد، کواتنش استاندارد ميدان به وسيله بسط زير نمايش داده مي شود:
(4-5)
که مقادير an و عملگرهاي نابودي و خلق تحت روابط جابه جايي:
(4-6)
هستند. حالت خلاء در حضور شرايط مرزي با عبارت بيان مي شود. حال بايد انرژي اين حالت را در مقايسه با انرژي خلاء ميدان اسکالر تشريحي در محور نامتناهي پيدا کنيم. عملگر چگالي انرژي با مولفه – تانسور تکانه انرژي ميدان اسکالر در دو بعد فضا- زمان اين گونه نشان داده مي شود[79] :
(4-7)
از جايگزيني معادله (4-5) در معادله(4-7) و نيز با در نظر گرفتن معادلات (4-3( و(4-6) به راحتي به
دست مي آيد:
(4-8)
که جمله نوساني در سمت راست معادله(4-8) در نتيجه نهايي سهمي ندارد.
با انتگرال گيري از معادله (4-12) انرژي کل خلاء در فاصله محاسبه مي شود:
(4-9)
عبارت (4-9) نقطه شروع اساسي براي انرژي حالت خلاء ميدان کوانتيده بين مرزها در نظريه اثر کازيمير مي باشد.به طور يقين مقدار نامتناهي است و اين مشکل مي تواند با استفاده از انواع فرايند منظم سازي حل شود. فرايند منظم سازي روش هاي مختلفي دارد که در اين جا از يکي از ساده ترين آنها (تابع نمايي) استفاده مي کنيم:

4-1-1 منظم سازي ميدان اسکالر با تابع نمايي
حال براي منظم سازي ميدان (4-9) يک تابع حفيف نمايي را معرفي مي کنيم که در حد منظم سازي حذف مي گردد. در اين مورد با فرض ميدان بدون جرم خواهيم داشت:
(4-10)

و در حد کوچک عبارت زير به دست مي آيد:
(4-11)
معني عبارت فوق اين است که انرژي خلاء به عنوان مجموعي از جمله واحد و يک توزيع معين نشان داده شده است. حال اگر نتيجه عبارت (4-11) را با نتيجه متناسب براي محورهاي نامتناهي مقايسه کنيم به جاي عبارت (4-7) حل هاي بسامدي مثبت و منفي زير را خواهيم داشت:
(4-12)
که:
حال جمع در عملگر ميدان (4-5) با انتگرال گيري به اندازه جايگزين مي شود و به جاي نشانه هاي کرونکر روابط جابه جايي شامل توابع دلتا به کار مي رود. حالت خلاء در اين وضعيت را با نشان مي دهيم. خلاء منيکوفسکي براي زير خط نشانگر فضاي آزاد بدون هيچ گونه شرايط مرزي مي باشد. با تکرار محاسبات ساده اي که براي فاصله مکاني محدود توضيح داده شد، بسط واگراي چگالي انرژي خلاء در خلاء مينکوفسکي توسط رابطه زير نمايش داده مي شود:
(4-13)
و انرژي کل خلاء اين گونه نشان داده مي شود:
(4-14)
که طول هنجارش است. حال با جدا کردن فاصله از کل محور، انرژي زير به دست مي آيد:
(4-15)
براي محاسبه(4-15) با شيوه مشابه منظم سازي يعني تابع حفيف نمايي و در نظر گرفتن ميدان بدون جرم داريم:

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید